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Cálculo Diferencial e Integral Volume 1

N. Piskounov

Chapter 4

Teoremas relativos às funçōes deriváveis - all with Video Answers

Educators

Chapter Questions

Problem 1

Verificar o teorema de Rolle para as funçסes:
$y=x^2-3 x+2$ sobre o segmento [1, 2].

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Problem 2

Verificar o teorema de Rolle para as funçסes:
$y=x^3+5 x^2-6 x$ sobre o segmento $[0,1]$.

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Problem 3

Verificar o teorema de Rolle para as funçסes:
$y=(x-1)(x-2)(x-3)$ sobre o segmento [1, 3].

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Problem 4

Verificar o teorema de Rolle para as funçסes:
$y=\operatorname{sen}^2 x$ sobre o segmento $[0, \pi]$.

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Problem 5

Verificar o teorema de Rolle para as funçסes:
A funçio $f(x)=4 x^3+x^2-4 x-1$ tem por raizes 1 e -1 . Achar a raiz da derivada $f(x)$, de que $e$ assunto no teorema de Rolle.

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Problem 6

Verificar o teorema de Rolle para as funçסes:
Verificar que entre as raizes da funçio $y=\sqrt[3]{x^2-5 x+6}$ se encontra uma raiz da sua derivada.

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02:04

Problem 7

Verificar o teorema de Rolle para as funçסes:
Verificar o teorema de Rolle para a função $y=\cos ^2 x$ sobre o segmento
$$
\left[-\frac{\pi}{4},+\frac{\pi}{4}\right]
$$

Michelle Ling
Michelle Ling
Numerade Educator
02:02

Problem 8

Verificar o teorema de Rolle para as funçסes:
A funçio $y=1-\sqrt[3]{x^4}$ anula-se nas extremidades do segmento $[-1,1]$. Verificar que a derivada desta funçio nīo se anula em nenhum ponto do intervalo $(-1,1)$. Explicar porque nio se pode aplicar aqui o teorema de Rolle.

Doruk Isik
Doruk Isik
Numerade Educator

Problem 9

Verificar o teorema de Rolle para as funçסes:
Compor a fórmula de Lagrange para a funçito $y=\operatorname{sen} x$ sobre o segmento $\left[x_1, x_2\right.$ ]. Resp. $\operatorname{sen} x_2-\operatorname{sen} x_1=\left(x_2-x_1\right) \cos c_1 x_1<c<x_3$

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Problem 10

Verificar o teorema de Rolle para as funçסes:
Verificar a fórmula de Lagrange para a funçio $y=2 x-x^2$ sobre o segmento [0, 1].

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Problem 11

Verificar o teorema de Rolle para as funçסes:
Em que ponto a tangente à curva $y=x^n$ \& paralela à corda subtendo os pontos $M_1(0,0)$ e $M_1\left(a, a^n\right)$ ? Resp. No ponto da abcissa $c=\frac{a}{\sqrt[n-1]{n}}$.

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Problem 12

Verificar o teorema de Rolle para as funçסes:
Em que ponto a tangente à curva $y=\log x$ é paralela à corda subtendo os pontos $M_1(1,0)$ e $M_2(c, 1)$ ? Resp. No ponto da abcissa $c=e-1$. Utilizar a formula de Lagrange para demonstrar as desigualdades:

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Problem 13

Verificar o teorema de Rolle para as funçסes:
$e^x \geqslant 1+x$.

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Problem 14

Verificar o teorema de Rolle para as funçסes:
$\log (1+x)<x(x>0)$.

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Problem 15

Verificar o teorema de Rolle para as funçסes:
$b^n-a^n<n b^{n-1}(b-a)$ para $b>=a,

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Problem 16

Verificar o teorema de Rolle para as funçסes:
$ \operatorname{arctg} x<x$.

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Problem 17

Verificar o teorema de Rolle para as funçסes:
Escrever a fórmula de Cauchy para as funçठes $f(x)=x^2, \varphi(x)=x^3$ sobre o segmento $[1,2]$ e achar $c$. Resp. $c=\frac{14}{4}$.

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02:00

Problem 18

Calcular os limites seguintes:
$\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x-1}{x^n-1}$, Resp. $\frac{1}{n}$.

Christy Galilei
Christy Galilei
Numerade Educator

Problem 19

Calcular os limites seguintes:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^x-e^{-x}}{\operatorname{sen} x}$, Resp. 2 .

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Problem 20

Calcular os limites seguintes:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{tg} x-x}{x-\operatorname{sen} x} \cdot$ Resp. 2 .

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Problem 21

Calcular os limites seguintes:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x^2}-1}{\cos x-1}$, Resp. -2 .

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Problem 22

Calcular os limites seguintes:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\text { sen } x}{\sqrt{1-\cos x}}$, Resp. 0 limite nĩo existe $\langle\sqrt{2}$ para $x \rightarrow+0$, $-\sqrt{2}$ para $x \rightarrow-0$ ).

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Problem 23

Calcular os limites seguintes:
$\lim _{\substack{\pi \rightarrow \frac{\pi}{2}}} \frac{\log \operatorname{sen} x}{(\pi-2 x)^2}$, Resp. $-\frac{1}{8}$.

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Problem 24

Calcular os limites seguintes:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a^x-b^x}{x}$, Resp. $\log \frac{a}{b}$.

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Problem 25

Calcular os limites seguintes:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\operatorname{arcsen} x}{\operatorname{sen}^3 x}$. Resp. $-\frac{1}{6}$.

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Problem 26

Calcular os limites seguintes:
$\lim _{x \rightarrow a} \frac{\operatorname{sen} x-\operatorname{sen} a}{x-a}$, Resp, $\cos a$,

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Problem 27

Calcular os limites seguintes:
$\lim _{y \rightarrow 0} \frac{e^V+\operatorname{sen} y-1}{\log (1+y)}$, Resp. 2 .

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Problem 28

Calcular os limites seguintes:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^x \operatorname{sen} x-x}{3 x^2+x^3}$, Resp. $\frac{1}{3}$.

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00:36

Problem 29

Calcular os limites seguintes:
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3 x-1}{2 x+5}$. Resp. $\frac{3}{2}$.

Amy Jiang
Amy Jiang
Numerade Educator
01:17

Problem 30

Calcular os limites seguintes:
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\log x}{x^4}($ em que $n>0)$. Resp. 0 .

Edward Downes
Edward Downes
Numerade Educator

Problem 31

Calcular os limites seguintes:
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\log \left(1+\frac{1}{x}\right)}{\operatorname{arcctg} x}$. Resp. 1.

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Problem 32

Calcular os limites seguintes:
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\log \left(\frac{x+1}{x}\right)}{\log \left(\frac{x-1}{x}\right)}$, Resp. -1 .

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Problem 33

Calcular os limites seguintes:
$\lim _{y \rightarrow+\infty} \frac{y}{e^{a y}}$, Resp. 0 para $a>0 ; \infty$ para $a<0$.

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Problem 34

Calcular os limites seguintes:
$\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}$, Resp. 1.

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Problem 35

Calcular os limites seguintes:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\log \operatorname{sen} 3 x}{\log \operatorname{sen} x}$, Resp. 1.

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Problem 36

Calcular os limites seguintes:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\log \operatorname{tg} 7 x}{\log \operatorname{tg} 2 x}$, Resp. 1.

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Problem 37

Calcular os limites seguintes:
$\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\log (x-1)-x}{\operatorname{tg} \frac{\pi}{2 x}}$, Resp. 0 .

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Problem 38

Calcular os limites seguintes:
$\lim _{x \rightarrow 1}(1-x) \operatorname{tg} \frac{\pi x}{2}$, Resp. $\frac{2}{\pi}$,

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Problem 39

Calcular os limites seguintes:
$\lim _{x \rightarrow 1}\left[\frac{2}{x^2-1}-\frac{1}{x-1}\right]$, Resp. $\frac{1}{2}$.

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Problem 40

Calcular os limites seguintes:
$\lim _{x \rightarrow 1}\left[\frac{1}{\log x}-\frac{x}{\log x}\right]$. Resp. -1 .

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Problem 41

Calcular os limites seguintes:
$\lim _{\phi-\frac{\pi}{2}}(\sec \varphi-\operatorname{tg} \varphi)$. Resp. 0 .

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Problem 42

Calcular os limites seguintes:
$\lim _{x \rightarrow 1}\left[\frac{x}{x-1}-\frac{1}{\log x}\right] \cdot \operatorname{Resp} \cdot \frac{1}{2}$.

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Problem 43

Calcular os limites seguintes:
$\lim _{x \rightarrow 0} x \operatorname{ctg} 2 x$. Resp. $\frac{1}{2}$.

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Problem 44

Calcular os limites seguintes:
$\lim _{x \rightarrow 0} x^2 e^{\frac{1}{x^2}}$. Resp. $\infty$.

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Problem 45

Calcular os limites seguintes:
$\lim _{x \rightarrow 1} x^{\frac{1}{1-x}} \cdot$ Resp $\frac{1}{e}$.

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Problem 46

Calcular os limites seguintes:
$\lim _{t \rightarrow \infty} \sqrt[t]{t^2}$, Resp. 1 .

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Problem 47

Calcular os limites seguintes:
$\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x}\right)^{\mathrm{tg} x}$. Resp. 1.

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Problem 48

Calcular os limites seguintes:
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{a}{x}\right)^x$. Resp. $e^\alpha$.

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Problem 49

Calcular os limites seguintes:
$\lim _{x \rightarrow 0}(\operatorname{ctg} x)^{\frac{1}{\log x}}$. Resp. $\frac{1}{e}$.

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Problem 50

Calcular os limites seguintes:
$\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}(\cos x)^{\frac{\pi}{2}-x}$. Resp. 1 .

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Problem 51

Calcular os limites seguintes:
$\lim _{\varphi \rightarrow 0}\left(\frac{\operatorname{sen} \varphi}{\varphi}\right)^{\frac{1}{\varphi^2}} \cdot$ Resp. $\frac{1}

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Problem 52

Calcular os limites seguintes:
$\lim _{x \rightarrow 1}\left(\operatorname{tg} \frac{\pi x}{4}\right)^{\operatorname{tg} \frac{\pi x}{2}}$. Resp. $\frac{1}{e}$.

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Problem 53

Decompor o polin ©mio $x^4-5 x^2+5 x^2+x+2$ segundo as poténcias de $x-2$. Resp. $\quad-7(x-2)-(x-2)^2+3(x-2)^2+(x-2)^4$.

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07:31

Problem 54

Decompor segundo as potências de $x+1$ o polinómio $x^5+2 x^4-x^2+$ $+x+1$. Resp. $(x+1)^2+2(x+1)^3-3(x+1)^2+(x+1)^2$.

AG
Ankit Gupta
Numerade Educator

Problem 55

Escrever a fórmula de Taylor para a funglo $y=\sqrt{x}$ para $a=1, n=3$.
Resp. $\sqrt{x}=1+\frac{x-1}{1} \cdot \frac{1}{2}-\frac{(x-1)^2}{1 \cdot 2} \cdot \frac{1}{4}+\frac{(x-1)^3}{1 \cdot 2 \cdot 3} \cdot \frac{3}{8}-\frac{(x-1)^4}{4!} \times$
$$
\times \frac{15}{16} \cdot[1+\theta(x-1)]^{-\frac{7}{2}}, \quad 0<\theta<1
$$

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Problem 56

Escrever a fórmula de Maclaurin para a funçio $y=\sqrt{1+x}$ para $n=2$.
Resp. $\sqrt{1+x}=1+\frac{1}{2} x-\frac{1}{8} x^2+\frac{x^3}{16(1+\theta x)^{\frac{5}{2}}}, \quad 0<\theta<1$.

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Problem 57

Utilizar os resultados do exemplo anterior para avaliar o erro aproximado da igualdade
$$
\sqrt{1+x} \approx 1+\frac{1}{2} x-\frac{1}{8} x^2 \quad \text { para } \quad x=0,2
$$
Resp. Inferior a $\frac{1}{2 \cdot 10^3}$.

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Problem 58

Elucidar a proveniencia das igualdades aproximadas para baixos valores de $x$ e avaliar o erro das igualdades:
$\log \cos x \approx-\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{12}$.

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Problem 59

Elucidar a proveniencia das igualdades aproximadas para baixos valores de $x$ e avaliar o erro das igualdades:
$\operatorname{tg} x \approx x+\frac{x^3}{3}+\frac{2 x^5}{15}$.

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Problem 60

Elucidar a proveniencia das igualdades aproximadas para baixos valores de $x$ e avaliar o erro das igualdades:
$\operatorname{arcsen} x \approx x+\frac{x^3}{6}$

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Problem 61

Elucidar a proveniencia das igualdades aproximadas para baixos valores de $x$ e avaliar o erro das igualdades:
$\operatorname{arctg} x \approx x-\frac{x^3}{3}$.

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Problem 62

Elucidar a proveniencia das igualdades aproximadas para baixos valores de $x$ e avaliar o erro das igualdades:
$\frac{e^x+e^{-x}}{2} \approx 1+\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}$.

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Problem 63

Elucidar a proveniencia das igualdades aproximadas para baixos valores de $x$ e avaliar o erro das igualdades:
$\log \left(x+\sqrt{1-x^2}\right) \approx x-x^2+\frac{5 x^3}{6}$.

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Problem 64

Utilizar a fórmula de Taylor para calcular o limite das expressobes:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\operatorname{sen} x}{e^x-1-x-\frac{x^2}{2}}$, Resp, 1.

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Problem 65

Utilizar a fórmula de Taylor para calcular o limite das expressobes:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\log ^2(1+x)-\operatorname{sen}^2 x}{1-e^{-x^2}}$, Resp. 0 .

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Problem 66

Utilizar a fórmula de Taylor para calcular o limite das expressobes:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2(\operatorname{tg} x-\operatorname{sen} x)-x^3}{x^5}, \operatorname{Resp} \cdot \frac{1}{4}$.

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Problem 67

Utilizar a fórmula de Taylor para calcular o limite das expressobes:
$\lim _{x \rightarrow 0}\left[x-x^2 \log \left(1+\frac{1}{x}\right)\right]$ Resp. 0 .

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Problem 68

Utilizar a fórmula de Taylor para calcular o limite das expressobes:
$\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^2}-\frac{\operatorname{ctg} x}{x}\right)$. Resp. $\frac{1}{3}$.

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Problem 69

Utilizar a fórmula de Taylor para calcular o limite das expressobes:
$\lim \left(\frac{1}{x^2}-\operatorname{ctg}^2 x\right)$. Resp. $\frac{2}{3}$.

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