Section 1
Teorema de la.funci贸n inversa
Sea $u(x, y)=x^2-y^2, v(x, y)=2 x y$. Mu茅strese que la aplicaci贸n $(x, y) \mapsto(u, v)$ es localmente invertible en todo punto $(x, y) \neq(0,0)$.
Calc煤lese $\partial x / \partial u, \partial x / \partial v, \partial y / \partial u, \partial y / \partial v$ para las funciones del cjercicio 1.
Sea $f(x)=x+2 x^2$ sen $(1 / x), x \neq 0, f(0)=0$. Mu茅strese que $f^{\prime}(0) \neq 0$, pero que $f$ no cs localmente invertible cerca de 0 . 驴Por qu茅 no contradice esto el teorema de la funci贸n inversa?
Sea $L: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ un isomorfismo lineal y $f(x)=L(x)+g(x)$, donde $\|g(x)\| \leq M\|x\|^2$ y $f$ es $C^1$. Mu茅strese que $f$ es localmente invertible cerca de 0 .
Anal铆cese si del sistema
$$\begin{aligned}u(x, y, z) & =x+x y z \\v(x, y, z) & =y+x y \\w(x, y, z) & =z+2 x+3 z^2\end{aligned}$$
se pucden despejar $x, y, z$ en t茅rminos de $u, v, w$ cerca de $(0,0,0)$.