Teoría Electromagnética

William Hart Hayt; Carlos Roberto Cordero Pedraza; John A. Buck

Chapter 14 Radiación electromagnética y antenas - all with Video Answers

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Chapter Questions

Problem 1

Un dipolo corto que transporta corriente $I_0 \cos \omega t$ en la dirección a $\mathbf{a}_z$ está ubicado en el origen en el espacio libre. $a$ ) Si $k=1 \mathrm{rad} / \mathrm{m}, r=2 \mathrm{~m}, \theta=45^{\circ}, \phi=0$ y $t=0$, proporcionar un vector unitario en componentes rectangulares que muestre la dirección instantánea de $\mathbf{E}, b$ ) ¿Qué fracción de la potencia media total es radiada en el cinturón, $80^{\circ}<\theta$ $<100^{\circ}$ ?

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Problem 2

Preparar una curva, $r$ contra $\theta$, en el dipolo hertziano que muestre el lugar geométrico en el plano $\phi=0$ donde $a$ ) el campo de radiación $\left|E_{\theta s}\right|$ es la mitad de su valor en $r=10^4 \mathrm{~m}$, $\theta=\pi / 2 ; b)$ la densidad de potencia irradiada media $\left\langle S_r>\right.$ es la mitad de su valor en $r=$ $10^4 \mathrm{~m}, \theta=\pi / 2$.

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Problem 3

Dos antenas cortas localizadas en el origen en el espacio libre transportan corrientes idénticas de $5 \cos \Omega t \mathrm{~A}$, una en dirección a $\mathbf{a}_{\mathbf{z}} \mathrm{y}$ otra en dirección $\mathbf{a}_{\mathrm{y}}$. Sean $\lambda=2 \pi \mathrm{m}$ y $d=0.1 \mathrm{~m}$. Hallar $\mathbf{E}_s$, en el punto alejado donde $\left.\left.\left.a\right)(x=0, y=1000, z) 0=; b\right)(0,0,1000) ; c\right)$ $(1000,0,0) . d)$ Hallar $\mathbf{E}$ en $(1000,0,0)$ en $t=0 . c)$ Hallar $|\mathbf{E}|$ en $(1000,0,0)$ en $t=0$.

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Problem 4

Escribir el campo eléctrico del dipolo hertziano cuyas componentes están dadas en las ecuaciones (15) y (16) en la zona próxima en el espacio libre donde $k r<<1$. En este caso, sólo permanece un simple término en cada una de las dos ecuaciones, y las fases, $\delta_r$ y $\delta_\theta$, se simplifican a un solo valor. Construir el campo eléctrico resultante y comparar su resultado con el resultado del dipolo estático [ecuación (35) en el capítulo 4]. ¿Qué relación debe existir entre la carga del dipolo estático, $Q$, y la amplitud de corriente, $I_0$, de modo que los dos resultados sean idénticos?

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Problem 5

Considerar el término en la ecuación (14) [o en la ecuación (10)] que proporciona la dependencia $1 / r^2$ en el campo magnético del dipolo hertziano. Suponiendo que este término domina y que $k r<1$, demostrar que el campo magnético resultante es el mismo que el encontrado al aplicar la ley Biot-Savart [ecuación (2), capítulo 7] a un elemento de corriente de longitud diferencial $d$, orientado a lo largo del eje $z$ y centrado en el origen.

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Problem 6

Evaluar el vector de Poynting medio con respecto al tiempo: $<\mathbf{S}>=\left(\frac{1}{2}\right) \operatorname{Re}\left\{\mathbf{E}_s \times \mathbf{H}_s^*\right\}$ para el dipolo hertziano, asumiendo el caso general que implica las componentes de campo según están dadas por las ecuaciones (10), (13a) y (13b). Comparar su resultado con el caso de la zona alejada, ecuación (26).

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Problem 7

Un elemento de corriente corto tiene $d=0.03 \lambda$. Calcular la resistencia de radiación que se obtiene para cada una de las siguientes distribuciones de corriente: $a$ ) uniforme, $I_0$; b) lineal, $\left.I(z)=I_0(0.5 d-|z|) / 0.5 d ; c\right)$ por pasos, $I_0$, para $0<|z|<0.25 d$ y $0.5 I_0$ para $0.25 d<|z|<0.5 d$.

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Problem 8

Evaluar el vector de Poynting medio con respecto al tiempo, $<\mathbf{S}>=(1 / 2) \mathcal{R} e\left\{\mathbf{E}_s \times \mathbf{H}_s^*\right\}$ para la antena dipolo magnético en la zona lejana, donde todos los términos de orden $1 / r^2$ y $1 / r^4$ se omiten en las ecuaciones (48), (49) y (50). Comparar su resultado con la
densidad de potencia de la zona lejana del dipolo hertziano, ecuación (26). En esta comparación, y suponiendo amplitudes de corriente iguales, ¿qué relación entre el radio del lazo, $a$, y la longitud del dipolo, $d$, daria por resultado potencias irradiadas iguales desde los dos dispositivos?

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Problem 9

Una antena dipolo en el espacio libre tiene una distribución de corriente lineal con corriente cero en cada extremo, y con corriente pico $I_0$ en la entrada. Si la longitud $d$ es $0.02 \lambda$, ¿qué valor de $I_0$ se requiere para $a$ ) proporcionar una amplitud de campo de radiación de $100 \mathrm{mV} / \mathrm{m}$ a una distancia de $1 \mathrm{mi}$, en $\theta=90^{\circ} ; b$ ) irradiar una potencia total de $1 \mathrm{~W}$ ?

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Problem 10

Demostrar que la longitud de la cuerda en la gráfica del plano $E$ en la figura 14.4 es igual a $b \operatorname{sen} \theta$, donde $b$ es el diámetro del círculo.

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Problem 11

Una antena monopolo se extiende verticalmente sobre un plano perfectamente conductor, y tiene una distribución de corriente lineal. Si la longitud de la antena es $0.01 \lambda$, ¿qué valor de $I_0$ se requiere para $a$ ) obtener una amplitud de radiación de campo de $100 \mathrm{mV} / \mathrm{m}$ a una distancia de $1 \mathrm{mi}$, en $\theta=90^{\circ} ; b$ ) irradiar una potencia total de $1 \mathrm{~W}$ ? Suponer que arriba del plano hay espacio libre.

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Problem 12

Hallar los ceros en $\theta$ para el patrón de plano $E$ de una antena dipolo para la cual a) $\ell=\lambda$; b) $2 \ell=1.3 \lambda$. Usar la figura 14.8 como guía.

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Problem 13

El campo de radiación de un elemento de corriente vertical corto es $E_{\theta s}=(20 / r) \operatorname{sen} \theta e^{-j 10 \pi r} \mathrm{~V} / \mathrm{m}$ si está localizado en el origen en el espacio libre. a) Hallar $E_{\theta s}$ en $P\left(r=100, \theta=90^{\circ}, \phi=30^{\circ}\right)$.b) Hallar $E_{\theta s}$ en $P\left(100,90^{\circ}, 30^{\circ}\right)$ si el elemento vertical se encuentra en $A\left(0.1,90^{\circ}, 90^{\circ}\right)$.c) Hallar $E_{\theta s,}$, en $P\left(100,90^{\circ} 30^{\circ}\right)$ si elementos verticales idénticos están en $A\left(0.1,90^{\circ}, 90^{\circ}\right)$ y $B\left(0.1,90^{\circ}, 270^{\circ}\right)$.

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Problem 14

Para una antena dipolo de longitud total $2 \ell=\lambda$, evaluar la directividad máxima en decibeles, así como el ancho de banda de media potencia.

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Problem 15

Para una antena dipolo de longitud global $2 \ell=1.3 \lambda$, determinar las ubicaciones en $\theta$ y la intensidad pico de los lóbulos laterales, expresado como una fracción de la intensidad del lóbulo principal. Expresar su resultado como el nivel del lóbulo lateral en decibeles dado por $S_s[\mathrm{~dB}]=10 \log _{10}\left(S_{r \text {,principal }} / S_{r \text {,lóbulo lateral }}\right)$. De nuevo, usar la figura 14.8 como guía.

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Problem 16

Para una antena dipolo de longitud global $2 \ell=1.5 \lambda, a$ ) evaluar las ubicaciones en $\theta$ en las que ocurren los ceros y los máximos en el patrón del plano $E ; b$ ) determinar el nivel de los lóbulos laterales según la definición en el problema 14.14:c) determinar la directividad máxima.

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Problem 17

Considerar un dipolo de media onda sin pérdidas en el espacio libre, con resistencia de radiación, $R_{\mathrm{rad}}=73$ ohms, y directividad máxima $D_{\max }=1.64$. Si la antena transporta una amplitud de corriente de $1 \mathrm{~A}, a$ ) ¿cuánta potencia total (en watts) es irradiada? b) ¿Cuánta potencia es interceptada por una abertura de $1 \mathrm{~m}^2$ situada a $r=1 \mathrm{~km}$ de distancia? La abertura está en el plano ecuatorial y enfrenta de manera cuadrada a la antena. Suponer densidad de potencia uniforme sobre la abertura.

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Problem 18

Repetir el problema 14.17 , pero con una antena de onda completa $(2 \ell=\lambda)$. Puede ser necesario efectuar integrales numéricas.

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Problem 19

Diseñar un arreglo dipolo de dos elementos que irradie intensidades iguales en las direcciones $\phi=0, \pi / 2, \pi$ y $3 \pi / 2$ en el plano $H$. Especificar el ajuste de corriente relativa más pequeño, $\xi$, y el espaciamiento mínimo entre elementos, $d$.

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Problem 20

In arreglo dipolo de dos elementos se configura para proporcionar radiación cero en las direcciones de la antena de radiación transversal $\left(\phi= \pm 90^{\circ}\right)$ y la antena de radiación longitudinal $\left(\phi=0,180^{\circ}\right)$, pero donde los máximos ocurren a ángulos entre estas direcciones. Considerar una disposición con $\psi=\pi$ en $\phi=0$ y $\psi=-3 \pi$ en $\phi=\pi$, con ambos valores determinados en el plano $H . a$ ) Comprobar que estos valores proporcionan radiación cero en la antena de radiación transversal y en la antena de radiación longitu-dinal. $b$ ) Determinar la fase de corriente relativa requerida, $\xi . c$ ) Determinar el espaciamiento necesario entre los elementos, $d$ ) Determinar los valores de $\phi$ a los que ocurren los máximos en el patrón de radiación.

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Problem 21

En el arreglo de dos elementos de antena de radiación longitudinal del ejemplo 14.4, considerar el efecto producido por el hecho de modificar la frecuencia de operación, $f$, lejos de la frecuencia de diseño original, $f_0$, mientras se mantiene el ajuste de fase de la corriente original, $\xi=-\pi / 2$. Determinar los valores de $\phi$ a los que ocurren los máximos cuando la frecuencia se cambia a a) $f=1.5 f_0 ; b$ ) $f=2 f_0$.

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Problem 22

Volver a considerar el problema 14.21, pero dejando que la fase de la corriente varie con la frecuencia (esto ocurre de manera automática si la diferencia de fase es establecida por un simple retraso de tiempo entre las corrientes de alimentación). Ahora, la diferencia en fase de corriente es $\xi^{\prime}=\xi f / f_0$ donde $f_0$ es la frecuencia original (de diseño). En esta condición, la radiación se maximiza en la dirección $\phi=0 \sin$ importar la frecuencia (demostrar). No obstante, se desarrolla radiación hacia atrás (a lo largo de $\phi=\pi$ ) a medida que la frecuencia se sintoniza lejos de $f_0$. Obtener una expresión para la relación de adelante hacia atrás, definida como la razón de las intensidades de radiación en $\phi=0$ y $\phi=\pi$ expresada en decibeles. Escribir este resultado como una función de la razón de frecuencia $f / f_0$. Evaluar la relación de adelante hacia atrás para a) $\left.f=1.5 f_0 ; b\right) f=2 f_0$, y c) $f=0.75 f_0$.

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Problem 23

Una antena de torniquete consta de dos antenas dipolo cruzadas, ubicadas en este caso en el plano $x y$. Los dipolos son idénticos, están a lo largo de los ejes $x$ y $y$ a ambos son alimentados en el origen. Suponer que corrientes iguales se suministran a cada antena y que una referencia de fase igual a cero se aplica a la antena dirigida hacia $x$. Determinar la fase relativa, $\xi$, de la antena dirigida hacia $y$ de modo que el campo eléctrico irradiado neto según se mide sobre el eje $z$ positivo está $a$ ) polarizado circularmente por la izquierda; $b$ ) polarizado linealmente a lo largo del eje de $45^{\circ}$ entre $x$ y $y$.

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Problem 24

Considerar un arreglo de radiación longitudinal, diseñado para intensidad de radiación máxima en $\phi=0$, usando valores $\xi$ y $d$ según sugiere el ejemplo 14.5. Determinar una expresión para la relación de adelante hacia atrás (definida en el problema 14.22) como una función del número de elementos, $n$, si $n$ es un número impar.

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Problem 25

El espaciamiento de un arreglo dipolo lineal de seis elementos es $d=\lambda / 2$. $a$ ) Escoger el ajuste de fase idóneo, $\xi$, para obtener radiación máxima a lo largo de $\phi= \pm 60^{\circ} . b$ ) Con la fase establecida según el inciso $a$ ), evaluar las intensidades (relativas al máximo) en las direcciones de radiación transversal y radiación longitudinal.

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Problem 26

En un arreglo de radiación longitudinal de $n$ elementos, una elección de ajuste de fase que mejora la directividad está definido por la condición de Hansen-Woodyard:
$$
\xi= \pm\left(\frac{2 \pi d}{\lambda}+\frac{\pi}{n}\right)
$$
donde la elección de los signos "menos" o "más" proporciona radiación máxima a lo largo de $\phi=180^{\circ}$ y $0^{\circ}$, respectivamente. La aplicación de este ajuste no necesariamente conduce a operación de radiación longitudinal unidireccional (radiación cero hacia atrás), pero sí lo hace con la elección idónea del espaciamiento entre elementos, $d$. a) Determinar este espaciamiento requerido como una función de $n$ y $\lambda . b$ ) Demostrar que el espaciamiento según se encontró en $a$ ) tiende a $\lambda / 4$ para un gran número de elementos. c) Demostrar que se requiere un número par de elementos.

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Problem 27

Considerar un arreglo lineal de radiación transversal de $n$ elementos. El aumento del número de elementos tiene el efecto de estrechar el haz principal. Demostrar este hecho al evaluar la separación en $\phi$ entre los ceros a cualquier lado del máximo principal en $\phi=90^{\circ}$. Demostrar que para $n$ grande esta separación es aproximada por $\Delta \phi \doteq 2 \lambda / L$, donde $L \doteq n d$ es la longitud global del arreglo.

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Problem 28

Un transmisor de considerables dimensiones instalado en tierra irradia $10 \mathrm{~kW}$ y se comunica con una estación receptora móvil que disipa $1 \mathrm{~mW}$ sobre la carga ajustada de su antena. El receptor (sin haberse movido) transmite ahora de regreso a la estación en tierra. Si la unidad móvil irradia $100 \mathrm{~W}$, ¿qué potencia se recibe (en una carga cuya impedancia está acoplada) por la estación terrestre?

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Problem 29

Señales se transmiten en un portador de $1 \mathrm{~m}$ de longitud de onda entre dos antenas dipolo idénticas de media onda separadas por una distancia de $1 \mathrm{~km}$. Las antenas están orientadas de modo que son exactamente paralelas entre sí. a) Si la antena transmisora irradia 100 watts, ¿cuánta potencia se disipa por una carga ajustada en la antena receptora?
b) Suponer que la antena receptora se rota $45^{\circ}$, mientras las dos antenas permanecen en el mismo plano. ¿Cuál es la potencia recibida en este caso?

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Problem 30

Se sabe que una antena dipolo de media onda tiene un área efectiva máxima definida por $A_{\text {máx }}$ a) Escribir la directividad máxima de esta antena en términos de $A_{\max }$ y la longitud de onda $\lambda . b$ ) Expresar la amplitud de corriente, $I_0$, necesaria para irradiar potencia total, $P_r$, en términos de $\left.P_r, A_{\max } \mathrm{y} \lambda, c\right)$ ¿A qué valores de $\theta$ y $\phi$ el área efectiva de la antena es igual a $A_{\max }$ ?

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