Chapter Questions
Determinar a área da figura delimitada pelas curvas $y^2=9 x, y=3 x$. Resp. $\frac{1}{2}$.
Determinar a área da figura delimitada pela hipérbole equilátera $x y=a^2$, o cixo $O x$ e as rectas $x=a, x=2 a$. Resp. $a^2 \log 2$,
Determinar a área da figura compreendida entre a curva $y=4-x^2$ e o eixo $O x$. Resp. $10 \frac{2}{3}$.
Determinar a área da figura delimitada pela hipocicloide $x^{2 / 3}+y^{2 / 3}=a^{2 / 3}$. Resp. $\frac{3}{8} \pi a^2$.
Determinar a área da figura delimitada pela catenária $y=\frac{a}{2}\left(e^{\frac{\pi}{a}}+e^{-\frac{\pi}{a}}\right)$, o eixo $O x$, o eixo $O y$ e a recta $x=a$. Resp. $\frac{a^2}{2 e}\left(e^2-1\right)$.
Determinar a área da figura delimitada pela curva $y=x^3$, a recta $y=8$ e o eixo Oy. Resp. 12.
Determinar a ârea do domínio delimitado por uma semi-onda de sinusóde e o cixo das abcissas. Resp. 2.
Determinar a área do dominio compreendido entre as parábolas $y^2=2 p x$, $x^2=2 p y$, Resp. $\frac{4}{3} p^2$.
Determinar a área total da figura delimiada pelas curvas $y=x^3, y=2 x$, $y=x . \operatorname{Resp}, \frac{3}{2}$.
Determinar a área do dominio delimitado por um arco de cicloide $x=a(t-\operatorname{sen} t), y=a(1-\cos t)$ e o cixo das abcissas. Resp. $3 \pi a^2$.
Determinar a área da figura delimitada pela hipociclóide $x=a \cos ^3 t$, $y=a \operatorname{sen}^3 t$. Resp. $\frac{3}{8} \pi a^2$,
Determinar a área do domínio delimitado pela lemniscata $\rho^2=a^2 \cos 2 \varphi$. Resp. $a^t$.
Determinar a drea do dominio delimitado por um arco da curva $\rho=a \operatorname{sen} 2 \varphi \cdot$ Resp. $\frac{1}{8} \pi a^2$.
Calcular a área total do domínio delimitado pela cardioide $\rho=a(1-\cos \varphi)$. Resp. $\frac{3}{2} \pi a^2$.
Calcular a área do dominio delimitado pela curva $p=a \cos p$. Resp. $\frac{\pi a^2}{4}$.
Determinar a àrea do dominio delimitado pela curva $\rho=a \cos 2 \%$. Resp. $\frac{\pi a^2}{4}$.
Determinar a direa do domínio delimitado pela curva $\rho=a \cos 3 \varphi$. Resp. $\frac{\pi}{4}$.
Determinar a área do domínio delimitado pela curva $\rho=a \cos 4 \psi$. Resp. $\frac{\pi a^2}{4}$.
Fez'se rodar a elipse $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ em torno do cixo $O x$. Determinar o volume do sólido de revolução. Resp. $\frac{4}{3} \pi a b^3$.
Fez-se rodar o segmento de recta que reúne a origem e o ponto $(a, b)$ em torno do eixo dos $y$. Determinar o volume dó cone obtido. Resp. $\frac{1}{3} \pi a^2 b$.
Determinar o volume do toro gerado pela rotação do circulo $x^2+(y-b)^2=$ $=a^2 \mathrm{~cm}$ torno do eixo $O x$ (sup $\delta s-$ se que $b \geqslant a$ ). Resp. $2 \pi^2 a^2 b$.
Fez-se rodar o arco da parábole $y^2=2 p x$ limitada pela recta $x=a \mathrm{~cm}$ torno do eixo $O x$. Calcular o volume do corpo de revoluçăo obtido. Resp. $\pi p a^2$.
A figura delimitada pala hipocicooide $x^{2 / 3}+y^{2 / 3}=a^{2 / 3}$ roda em torno do eixo Ox. Determinar o volume do corpo de revoluçlio, Resp. $\frac{32 \pi a^3}{105}$.
Determinar o volume gerado pela rotaçl̃a em torno do eixo $O x$ dum arco de sinusdide $y=\operatorname{sen} x$. Resp. $\frac{\pi^2}{2}$.
A figura delimitada pela parábola $y^2=4 x$ e a recta $x=4$ roda em torno do eixo Ox. Determinar o volume do corpo de revolução Resp. 32 $\mathbf{3}$.
A figura delimitada pela curva $y=x e^x e$ as rectas $y=0, x=1$ roda em volta de Ox. Determinar o volumz do corpo de revolução. Resp. $\frac{\pi}{2}\left(e^2-1\right)$.
A figura delimitada por um arco da ciclóide $x=a(\mathrm{t}-\operatorname{sen} t), \mathrm{y}=a(1-$ - $\cos t$ ) e o eixo $O x$ gira em torno do cixo $O x$. Determinar o volume do corpo de revoluçato. Resp. $5 \pi^2 a^2$,
A figura do problema 27 roda em torno do eixo Oy. Determinar o volume do corpo de revolução. Resp. $6 \pi^2 a^3$.
A figura do problema 27 gira em torno da recta que passa pelo vértice da cielóide paralelamente ao eixo Oy. Determinar o volume do corpo de revolução. Resp. $\frac{\pi a^3}{6}\left(9 x^2-16\right)$.
A figura do problema 27 roda em torno da tangente no vértice da ciclóide. Determinar o volume do corpo de revolução. Resp. $7 \pi^2 a^3$.
Um cilindro de raio $R$ e cortado por um plano que passa por um diâmetro da base sob um angulo a com a base. Determinar o volume da parte troncada). Resp. $\frac{2}{3} R^3 \operatorname{tg} \alpha$.
Determinar a volume comum aos dois cilindros: $x^2+y^2=R^2, y^2+z^3=$ $=R^{\mathbf{2}}$. Resp. $\frac{16}{3} R^3$.
O ponto de intersecçảo das diagonais dum quadrado descreve o diâmetro duma circunferència de raio $a$, o plano do quadrado que permanece constantemente perpendicular ao plano da circunferēncia, e dois vértices opostos do quadrado que se apoia sobre esta circunferència (a grandeza do quadrado varia, evidentemente, durante o movimento). Determinar o volume do corpo gerado por este quadrado. Resp. $\frac{8}{3} a^2$.
Calcular o volume do segmento obtido cortando o paraboloide elfptico $\frac{y^2}{2 p}+\frac{x^2}{2 q}=x$ pzlo plano $x=a$. Resp. $\pi a^2 \sqrt{p q}$.
Calcular o volume do corpo delimitado pelos planos $z=0, y=0$, as superf(cies cilindricas $x^2=2 p y$ e $z^2=2 p x$ e o plano $x=a$. Resp. $\frac{a^3 \sqrt{2 a}}{7 \sqrt{p}}$ (no primeito triedro).
Uma recta move-se paralelamente ao plano Oyz apoiando-se sobre as elipses $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, \frac{x^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$, encontrando-se, respectivamente, nos planos Oxy e $O x z$. Calcular o volume do corpo obtido Resp. $\frac{8}{3}$ abe.
Determinar o comprimento total da hipocicioide $x^{2 / a}+y^{2 / a}=a^{2 / 3}$. Resp. $6 a$.
Calcular o comprimento do arco da parábola semi-cúbica $a y^2=x^3$ da origem das coordenadas ao ponto de abcissa $x=5 a$. Resp, $\frac{335}{27} a$.
Determinar 0 comprimento da catenária $y=\frac{a}{2}\left(e^{\frac{x}{a}}+e^{-\frac{x}{a}}\right)$ da origem ao ponto $(x, y)$ Resp. $\frac{a}{2}\left(e^{\frac{x}{a}}-e^{-\frac{x}{a}}\right)=\sqrt{y^2-a^2}$.
Determinar o comprimento dum arco de ciclóide $x=a(t-\operatorname{sen} t), y=$ $=a(1-\cos t)$. Resp. 8a.
Determinar o arco da curva $y=\log x$ entre os limites $x=\sqrt{3} \mathrm{e} \quad x=\sqrt{8}$. Resp. $\quad 1+\frac{1}{2} \log \frac{3}{2}$.
Determinar o comprimento da curva $y=1-\log \cos x$ entre os limites $x=0$ e $x=\frac{\pi}{4}$, Resp. $\log \operatorname{tg} \frac{3 \pi}{8}$,
Determinar o comprimento da primeira espira da espiral de Arquimedes $\rho=a \varphi$ a partir do pólo. Resp. $\pi a \sqrt{1+4 \pi^2}+\frac{a}{2} \log \left(2 \pi+\sqrt{1+4 \pi^2}\right)$.
Determinar o comprimento da espiral logaritmica $\rho=e^{a \varphi}$ do pólo ao ponto $(\rho, \varphi)$. Resp. $\frac{\sqrt{1+\alpha^2}}{\alpha} e^{\alpha \varphi}=\frac{\rho}{\alpha} \sqrt{1+\alpha^2}$.
Determinar o comprimento total da curva $\rho=a \operatorname{sen}^3 \frac{4}{3}$, Resp, $\frac{3}{2}$ ta,.
Determinar o comprimento da evoluta da elipse $x=\frac{c^2}{g} \cos ^3 t ; y=$ $\frac{c^2}{b} \sin ^3 t$. Resp. $\frac{4\left(a^3-b^3\right)}{a b}$.
Determinar o comprimento da cardióide $\rho=a(1+\cos \varphi)$. Resp. 8a.
Determinar o comprimento da evolvente do circulo $x=a(\cos \varphi+\varphi \operatorname{sen} \varphi)$, $y=a(\operatorname{sen} \varphi-\varphi \cos \varphi)$ de $\varphi=0$ a $\varphi=\varphi_1$. Resp. $\frac{1}{2} a \varphi_1^2$.
Determinar a área da superficie obtida fazendo girar a parábola $y^2=4 a x$ em torno do cixo $O x$, da origem ao ponto da abcissa $x=3 a$. Resp. $\frac{56}{3} \pi a^2$,
Determinar a área do cone gerado pela rotação do segmento de recta $y=2 x, G \leqslant x \leqslant 2 ;$ a) Em torno do eixo Ox. Resp. $8 \pi \sqrt{5}$. b) Em torno do eixo Oy. Resp. $4 \pi \sqrt{5}$.
Determinar a airea do toro obtido fazendo girar o circulo $x^2+(y-b)=a^2$ em torno do cixo $O x(b>a)$. Resp. $4 \pi^2 a b$.
Determinar a área da superficie de revoluçĩo gerada pela rotaçũo da cardióide de equaçóes paramétricas $x=a(2 \cos \varphi-\cos 2 \varphi), y=a(2 \operatorname{sen} \varphi-$ $-\operatorname{sen} 2 \varphi)$ em torno do eixo $O x$. Resp. $\frac{128}{5} \pi a^2$.
Determinar a área da superficic obtida fazendo girar um arco da cicloide $x=a(\mathrm{t}-\operatorname{sen} n) ; y=a(1-\cos n)$ em torno do eixo Ox. Resp. $\frac{64 \pi a^3}{3}$.
Faz-se girar um arco da cicldide (var problema. 53) em volta do eixo Oy. Determinar a írea da superificie de revolução. Resp. $16 \mathrm{~m}^2 \mathrm{a}^2+\frac{64}{3} \pi \mathrm{a}^2$.
O arco da cicloide (problema 53) gira em volta da tangente no seu vértice. Determinar a ârea da superficie de revolução. Resp. $\frac{32 \pi a^2}{3}$.
O astróide $x=a \operatorname{sen}^3 t, y=a \cos ^3 t$ gira em volta do eixo $O x$. Determinar a direa da superficie de revolução. Resp. $\frac{12 \pi a^2}{5}$.
O arco de sinosoide $y=\operatorname{sen} x$ de $x=0$ a $x=2 \pi$ gira em volta do eixo Ox. Determinar a ârea da superficie de revolução. Resp. $4 \pi I \sqrt{2}$ $+\log (\sqrt{2}+1)]$.
A elipse $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b)$ gira cm volta do eixo Ox, Determinar a irea da superficie de revoluçāo. Resp. $2 \pi b^2+2 \pi t a b \frac{\operatorname{arcsen} e}{c}$, em que $e=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$.
Determinar a centro de gravidade do quarto de elipse $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(x \geqslant 0$, $y \geqslant 0$ ). Resp. $\frac{4 a}{3 \pi} ; \frac{4 b}{3 \pi}$
Determinar o esntro de gravidade da figura delimitada pela paribola $x^2+4 y-16=0$ c o eixo $O x$. Resp. $\left(0 ; \frac{8}{5}\right)$.
Determinar o centro de gravidade duma meia esfera. Resp. Sobre o cixo de simetria, a distancia de $\frac{3}{8} R$ da base.
Determinar o centro de gravidade da superficie duma semi-esfera. Resp. Sobre o eixo de simetria, a distancia $\frac{R}{2}$ da base.
Determinar o centro de gravidade da superficie dum cone circular recto cujo raio da base e $R$ e a altura ef $h$. Resp. Sobre o cixo de simetria, à distância $\frac{h}{3}$ da base.
Determinar o centro de gravidade da superficie plana limitada pelas curvas $y=\operatorname{sen} x(0<x \leqslant \pi), y=0$. Resp. $\left(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{8}\right)$.
Determinar o centro de gravidade duma área plana delimitada pelas parábolas $y^2=20 x, x^2=20 y$, Resp. $(9 ; 9)$.
Determinar o centro de gravidade da área dum sector circular do Angulo no centro $2 \alpha$ e de raio $R$. Resp. Sobre o eixo de simetria, a distancia $\frac{2}{3} R \frac{\operatorname{sen} \alpha}{\alpha}$ do vertice do sector.
Determinar a grandeza de pressâo da agua sobre um rectangulo que ai foi lançado verticalmente: a base et de 8 m , a altura de 12 m e a base superior encontra-se a 5 m da superficie, paralelamente a esta diltima. Resp. 1056 toneladas.
O bordo superior duma represa quadrada de 8 m de lado encomtra-se a superficie da igua. Qual e a presslo exercida pela água sobre cada um dos triângulos da represa obtidos traçando uma diagonal do quadrado. Resp. $85333,33 \mathrm{~kg}, \quad 170666,67 \mathrm{~kg}$.
Calcular o trabalho necessário para bombar água contida num reservatório em forma de semi-esfera de 20 m de diâmetro. Resp. $2,5 \cdot 16^{\circ}=\mathrm{kgm}$.
Um corpo estí animado dum movimento rectilinio, segundo a lei $x=\mathrm{cl}^3$, em que $x$ e o caminho parcorrido durante o tempo $t, c=$ const. A resistência do meio of proporcional ao quadrado da velocidade, o coeficiente de proporcionalidade e $k$. Calcular o trabalho devido a resistencia ao avanço quando o corpo passa do ponto $x=0$ ao ponto $x=a$. Resp. $\frac{27}{7} k v^v c^3 a^7$.
Calcular o trabalho dispendido para bombar um liquido de densidade $y$ contido num reservatório cónico, com o vértice voltado para baixo, de altura $H$ e de raio da base $R$. Resp, $\frac{\pi \gamma R^2 H^2}{12}$.
Um flutuador de madeira cilíndrico cuja superficie da base $\in S=4000 \mathrm{~cm}^2$ e a altura $H=56 \mathrm{~cm}$ flutua sobre a dgua. Qual \& o trabalho dispendido para o tirar da água? (o peso especifico da madeira é de 0,8 ). Resp. $\frac{\gamma^2 H^2 S}{2}=32 \mathrm{kgm}$.
Calcular a pressilo total exercida pela dgua sobre uma barragem em forma de trapézio isósceles, de dimensöes: base superior $a=6,4 \mathrm{~m}$, base inferior $b=4,2 \mathrm{~m}$, altura $H=3 \mathrm{~m}$. Resp. 22,2 toneladas
Determinar a componente axial $P \mathrm{~kg}$ da pressāo total do vapor exercido sobre o fundo esférico duma caldeira. O diametro da parte cilindrica da caldeira $e$ de $D \mathrm{~mm}$, a pressio do vapor na caldeira $P \mathrm{~kg} / \mathrm{cm}^2$, Resp. $P=\frac{\pi p D^2}{400}$.
Uma árvore vertical de raio $r$ é sustentada por uma tela plana. $O$ peso $P$ da árvore esta uniformemente repartido sobre toda a superficie de apoio. Calcular o trabalho total das forças de atrito quando a arrvore gira uma volta. O coeficiente de atrito \& $\mu$. Resp. $\frac{4}{3} \pi \mu$ Pr.
Uma Írvore vertical termina por um tronco de cone. A pressão especifica deste tronco de cone sobre a tela é constante e igual a P. O diametro superior do cone troncado é $D$. o diAmetro inferior $d$, o Angulo no vértice $2 a$. O cosficiente de atrito $6 \mu$. Calcular o trabalho das forças de atrito para uma volta da árvore. Resp, $\frac{\pi^2 P \mu}{b \operatorname{sen} \alpha}\left(D^3-d^3\right) \cdot n$
Um tronco prismático de comprimento $l$ estende-se progressivamente sob a acçāo duma força crescente de $O$ a $P$ de maneira que a força de extensio é equilibrada em cada instante palas forças elásticas do tronco. Calcular o trabalho $A$ da força de extenslo, supondo que o prolongaelasticidade do material $E$. Indicação－Se $x$ é o prolongamento e $f$ a força aplicada，tem－se $f=\frac{F E}{l} x$ ，O prolongamento sob a acção da força $P$ \＆$\Delta l=\frac{P l}{E F}$ ． Resp．$A=\frac{P \Delta l}{2}=\frac{P^2 l}{2 E F}$ ．
Uma barra prismática estí suspensa verticalmente e uma força de exten－ săo $P$ estif aphicada à sua extremidade inferior．Calcular o prolongamento da barra sob a acç⿺𠃊⺊口o do seu próprio peso e da força $P$ ，conhecendo o comprimento da barra em repouso $L_1$ a secção transversal $F$ ，o seu peso $Q$ é o módulo de elasticidade do material $E$. Resp．$\Delta l=\frac{(Q+2 P) l}{2 E F}$ ．
Calcular o tempo durante o qual se vaza um reservatório prismático cheio até ao nivel $H$ ．A secç̣̂o transversal $\delta \mathcal{F}$ ，a secção de abertura $f$ ， a velocidade de vazamento $\hat{d}$ dada pela formula $v=\mu \sqrt{2 g h}$ ，em que $\mu$ ह o coaficiente de viscosidade，$g$ a aceleração da força de gravidade， $h$ a distancia da abertura ao nível do liquido．Resp．$T=\frac{2 F H}{\mu f \sqrt{2 g H}}=$ $=\frac{F}{\mu f} \sqrt{\frac{2 H}{g}}$ ．
Determinar o débito $Q$ de digua（quantidade de agua evacuada durante a unidade de tempo）através dum escoadouro de seccĩo rectangular． A altura do escoadouro e $h$ ，a sua largura b．Resp．$Q=\frac{2}{3} \mu b h \sqrt{2 g h}$ ．
Determinar o débito $Q$ de água que rola através duma abertura rectangular lateral de altura $a$ e de largura $b$ ，sendo $H$ a altura da superficie do lado interior do rectangulo．Resp．$Q=\frac{2 b \mu \sqrt{2 g}}{3} \times\left[H^{3 / 2}-(H-a)^{3 / 2}\right]$ ．