Q|C Uma concha esférica tem raio interno de $3,00 \mathrm{~cm}$ e raio externo de $7,00 \mathrm{~cm}$. Ela é feita de material com condutividade térmica $k=0,800 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}$. O interior é mantido à temperatura de $5^{\circ} \mathrm{C}$, e o exterior à temperatura de $40^{\circ} \mathrm{C}$. Após um intervalo de tempo, a concha atinge um estado estável com a temperatura em cada ponto dentro dela permanecendo constante no tempo. (a) Explique por que a taxa de transferência de energia $P$ deve ser a mesma por cada superficie esférica, de raio $r$, dentro da concha, e deve satisfazer:
$$
\frac{d T}{d r}=\frac{P}{4 \pi k r^2}
$$
(b) Em seguida, prove que:
$$
\int_5^{40} d T=\frac{P}{4 \pi k} \int_{0,05}^{0,07} r^{-2} d r
$$
onde $T$ é dado em graus Celsius, e $r$, em metros. (c) Encontre a taxa de transferência de energia pela concha. (d) Prove que
$$
\int_5^T d T=1,84 \int_{0,0 s}^r r^{-2} d r
$$
onde $T$ é dado em graus Celsius, e $r$, em metros. (e) Encontre a temperatura dentro da concha como uma função do raio. (f) Encontre a temperatura em $r=5,00 \mathrm{~cm}$, na metade da concha.