Função de onda dependente do tempo para uma partícula livre. Um exemplo de função de onda dependente do tempo é o de uma partícula livre [em que $U(x)=0$ para qualquer $x$ ] de energia $E$ e componente $x$ do momento linear $p$. De acordo com as relações de De Broglie (ver Seção 39.1), tal partícula está associada a uma freqüência $f=E / h$ e um comprimento de onda $\lambda=h / p$. Uma primeira hipótese razoável para a função de onda dependente do tempo para tal partícula é $\Psi(x$, $t)=A \cos (k x-\omega t)$, onde $A$ é a constante, $\omega=2 \pi f$ é a frequência angular, e $k=2 \pi / \lambda$ é o número de onda. Essa é a mesma função que usamos para descrever uma onda mecânica [ver Equação (15.7)] ou uma onda eletromagnética propagando-se no sentido $x$ [ver Equação (32.16)]. a) Mostre que $\omega=E \hbar, k=$ $p / \hbar$ e $\omega=\hbar k^2 / 2 m$. (Sugestão: a energia é puramente cinética, de modo que $E=p^2 / 2 m$.) b) Para verificar essa hipotese para a função de onda dependente do tempo, substitua $\Psi(x, t)=A$ $\cos (k x-\omega t)$ na equação de Schrödinger dependente do tempo (ver Problema 39.63) com $U(x)=0$ (desse modo, a partícula é livre). Mostre que essa hipótese para $\Psi(x, t)$ não satisfaz a essa equação e, assim, não é uma função de onda adequada para uma partícula livre. c) Use o procedimento descrito na parte (b) para mostrar que uma segunda hipótese, $\Psi(x, t)=A \operatorname{sen}(k x-$ $\omega t)$, também não é uma função de onda adequada para uma partícula livre. d) Considere uma combinação das funções propostas nas partes (b) e (c):
$$
\Psi(x, t)=A \cos (k x-\omega t)+B \operatorname{sen}(k x-\omega t)
$$
Usando o procedimento descrito na parte (b), mostre que essa função de onda é uma solução para a equação de Schrödinger dependente do tempo com $U(x)=0$, mas apenas se $B=i A$. (Sugestäo: para satisfazer a equação de Schrödinger dependente do tempo para qualquer $x$ e $t$, os coeficientes de $\cos (k x-\omega t)$ em ambos os lados da equação devem ser iguais. O mesmo é verdade para os coeficientes de sen( $k x-\omega t)$ em ambos os lados da equação.) Este é um exemplo que mostra que as funções de onda dependentes do tempo sempre apresentam uma parte real e uma parte imaginária.